Đề cương ôn tập học kì I môn Toán học Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có lời giải)

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì I môn Toán học Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có lời giải)

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN KHỐI 6 TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐIỂM NĂM HỌC 2021 – 2022 PHẦN I: MỤC TIÊU A. SỐ HỌC * Kiến thức: Ôn tập kiến thức cơ bản trong chương I và chương II, gồm có: tập hợp, mối quan hệ giữa các tập , * , ; số và chữ số, thứ tự trong tập hợp số nguyên, số liền trước, số liền sau; biểu diễn một số trên trục số, quan hệ chia hết và tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên. * Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng thực hiện phép tính, tìm x , so sánh các số nguyên, biểu diễn các số trên trục số, làm một số dạng nâng cao. * Thái độ: Rèn luyện khả năng hệ thống hóa cho HS. B. HÌNH HỌC * Kiến thức: Ôn tập về các hình đã học: tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân, hình có trục đối xứng, hình có tâm đối xứng. * Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng nhận biết tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân, hình có trục đối xứng, hình có tâm đối xứng, vận dụng công thức tính chu vi, diện tích một số hình. Rèn luyện khả năng hệ thống hóa và vận dụng vào bài toán thực tế cho HS. * Thái độ: Rèn luyện tính chính xác cho HS. PHẦN II: NỘI DUNG ÔN TẬP A. LÍ THUYẾT I. SỐ HỌC 1. Viết đạng tổng quát các tính chất cơ bản của phép cộng, phép nhân số tự nhiên. 2. Định nghĩa lũy thừa bậc n của số tự nhiên a . 3. Phát biểu, viết công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số. 4. Phát biểu quan hệ chia hết của hai số, viết dạng tổng quát tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích. 5. Nêu dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9. 6. Thế nào là ƯC, BC, UCLN, BCNN? So sánh cách tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số? 7. Thế nào là số nguyên tố, hợp số, hai số nguyên tố cùng nhau? Cho ví dụ? 8. Thế nào là số nguyên âm, số nguyên dương, tập hợp số nguyên? 9. Phát biểu quy tắc cộng, trừ hai số nguyên, nhân, chia hai số nguyên. 10. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên. II. HÌNH HỌC 1. Dấu hiệu nhận biết các hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân. 2. Công thức thức tính chu vi và diện tích của một số hình. 3. Thế nào là trục đối xứng, tâm đối xứng của một hình. Nhận biết các hình có trục đối xứng, tâm đối xứng. B. BÀI TẬP I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1. Khoanh tròn vào chữ cái trước câu trả lời đúng: Câu 1. Ba số nào sau đây là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần:
2. A. b−1;bb ;+1( b ∈ ) . B. bb;+1;b +2( b∈ ) . C. 2 bbb;3 ;4 ( b∈ ). D. b+1;bb ;−1 ( b ∈ ) . Câu 2. Giá trị của tổng M =1357++++ + 97+ 99 là: A. 5050. B. 2500. C. 5000. D. 2450. Câu 3. Kết quả của phép tính 57⋅ 18− 57 .13 bằng: A. 5. B. 58 . C. 57 . D. 56 . 2 Câu 4. Biết (x −3)+7 ⋅ 2= 14 . Vậy giá trị của x là: A. x = 0 . B. x = 3. C. x = 7 . D. x = 3 và x = 7 . Câu 5. Cho số M =16*0 chữ số thích hợp để M chia hết 3, 5, 7 là: A. 2. B. 8. C. 4. D. 5. Câu 6. Nếu a 5 và b: 5(ab> ) thì: A. (ab+ ):5. B. (ab− )5 . C. (2ab− ) 5. D. Cả ba phương án trên đúng. Câu 7. Nếu a 2 và b: 4(ab> ) thì: A. (ab+ )4 . B. (ab− )2 . C. (ab− )6 . D. Cả ba phương án trên sai. Câu 8. Nếu M=12a+ 14 b thì: A. M :4. B. M :2. C. M :12 . D. M :14 . Câu 9. Nếu a m và bm và m∈ * thì: A. m là bội chung của a và b . B. m là ước chung của a và b . C. m= UCLN(;) a b . D. m= BCNN(;) a b . Câu 10. m là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 mà m đều chia hết cho cả a và b thì: A. m∈ BC(;) a b . B. m∈UC(;) a b . C. m= UCLN(;) a b . D. m= BCNN(;) a b . Câu 11. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào có các phần tử đều là số nguyên tố? A. {1;3;5;7;11}. B. {3;5;7;11;29} . C. {3;5;7;11;111}. D. {0;3;5;7;13}. Câu 12. Tìm ước chung của 9 và 15 A. {1; 3} . B. {0; 3} . C. {1; 5} . D. {1; 3; 9} . Câu 13. Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 40 là bội chung của 6 và 9 là: A. {0;18;36;54; }. B. {0;12;18;36}. C. {0;18;36}. D. {0;18;36;54}. Câu 14. Tìm ƯCLN(16;32;112)? A. 4. B. 8. C. 16. D. 32.
3. Câu 15. Số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn 90a và 135a là: A. 15. B. 30. C. 45. D. 60. Câu 16. Trong hai số sau, hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau? A. 2 và 6. B. 3 và 10. C. 6 và 9. D. 15 và 33. Câu 17. Tìm số tự nhiên x , biết rằng 162x ;360x và 10<x < 20 . A. x = 6 . B. x = 9 . C. x =18. D. x = 36 . Câu 18. Một đội y tế có 36 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cùng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ? A. 36. B. 18. C. 9. D. 6 . =3=22 = Câu 19. Cho a2 .3;b3 .5 ;c 2.5. Khi đó ƯCLN(,,)abc là: A. 23 .3.5 . B. 1. C. 23 .32 .52. D. 30. Câu 20. Cho A = 54 .132 .17 . Số các ướ của A là: A. 3. B. 7 . C. 15. D. 30. Câu 21. BCNN(40;28;140) là: A. 140. B. 280 . C. 420 . D. 560. Câu 22. Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 thỏa mãn a18 và a40 . A. 360. B. 400 . C. 458 . D. 500. Câu 23. Học sinh lớp 6D khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 6, hàng 8 đều vừa đủ hang. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 40 đến 60. Số học sinh của lớp 6D là A. 48 . B. 54. C. 60 . D. 72 . Câu 24. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. BCNN của a và b là số nhỏ nhất trong tập hợp bội chung của a và b. B. BCNN(,,1) a b= BCNN (,) a b . C. Nếu mn thì BCNN(,) m n= n . D. Nếu ƯCLN (,xy )= 1 thì BCNN(, x y )= 1. Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào có các phần tử được xếp theo thứ tự tăng dần? A. {2;− 17;5;1;− 2;0} . B. {−2;17;0;1;2;5} . C. {−17;− 2; 0;1;2;5} . D. {0;1;2;5;− 17}. Câu 26. Tập hợp các số nguyên kí hiệu là ∗ A. . B. . C. ∗ . D. . Câu 27. Tổng các số nguyên x thỏa mãn −10<x ≤13 là A. 33. B. 47 . C. 23. D. 46 . Câu 28. Khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: 2009− (5− 9+ 2008) ta được A. 2009+ 5− 9− 2008. B. 2009− 5− 9+ 2008. C. 2009− 5+ 9− 2008. D. 2009− 5+ 9+ 2008. Câu 29. Tính: (− 52)+ 70 kết quả là A. (− 18) . B. 18. C. (− 122) . D. 122.
4. =−38 b) 53+(−76 )−− 76−(−53 ) =53+(− 76) + 76− 53 =(53− 53) +(−76 ) + 76 = 0 c) −564+(−724 ) + 564+ 224 =−564+(− 724) + 564+ 224 =(−564+ 564) +(− 724) + 224 =0+(−500) =−500 d) −87+(−12 ) −(− 487) + 512 =(487− 87) +(−12 ) + 512 =400+ 500 = 900 e) 942− 2367+ 2563− 1942 =(942− 1942) +(−2367 + 2563) =−1000+ 196 =−804 f) 17+(−20 ) + 23+(− 26) + + 53+(− 56) =17+(−20 )+ 23+(− 26)+ +53 +(− 56) (có 7 cặp) =(−3) +(−3) + +(−3 ) =7.(− 3) =−21 g) 1152−( 374+ 1152) +(−65 + 374) . =1152− 374− 1152+(−65 ) +374 =(1152− 1152) +(− 374) + 374+(−65 ) =00++(− 65) =−65 h) −2005+(−21 + 75+ 2005) =−2005+(−21 ) + 75+ 2005 =(−2005) + 2005+(− 21) + 75 =0+ 54 = 54 Bài 4. Tìm x ∈ sao cho: a) (x −1)2 = 1 b) 72x6− = 49 c) (2x16)− 7 =128
5. d) 565− 13⋅x =370 e) 105− (135− 7x ) :9= 97 f) 275− (113+x )+ 63= 158 g) [3⋅ (x +2) : 7]⋅ 4= 120 h) xx(−1)= 0 i) (x+2)(x− 4)= 0 k) (x −140) : 7= 33− 23⋅ 3 l) xx3⋅2=28 :23 − m) 3x 3−32=2.32 Lời giải a) (x −1)2 = 1 Trường hợp 1: x −11= ⇒x =11+⇒x =2 Trường hợp 2: x −1=−1⇒x =−11+ ⇒x =0 Vậy x ∈{2;0} − b) 72x 6 = 49 − 72x 6= 72 2x −62= 2x = 8 x = 4 c) (2x− 16)7 = 128 (2x− 16)7= 27 2x −16=2 2x =18 x = 9 d) 565− 13⋅x =370 13⋅x =565 − 370 13⋅x = 195 x =195:13 x =15 e) 105− (135− 7x ) :9= 97 (135− 7x ) :9= 105− 97 (135− 7x ) :9= 8
6. 135− 7x =8.9 135− 7x =72 7x =135− 72 7x = 63 x = 9 f) 275− (113+x )+ 63= 158 275− (113+x )= 158− 63 275− (113+x )= 95 113+x =275 − 95 113+x =180 x =180− 113 x = 67 g) [3⋅ (x +2) : 7]⋅ 4= 120 3(⋅x +2) : 7= 120 : 4 3(⋅x + 2) : 7= 30 3(⋅x + 2) : 7= 30 3(⋅x + 2)= 30⋅ 7 3(⋅x + 2)= 210 x +2= 210 :3 x +2= 70 x = 68 h) xx(−1)= 0 x = 0 hoặc x −10= x = 0 hoặc x =1 i) (x+2)(x− 4)= 0 vì x ∈ nên x +20> x −40= x = 4 k) (x −140) : 7= 33− 23⋅ 3 (x −140):7=278 3 − ⋅ (x − 140 ):7= 27 24 − (x − 140):73 = x −140 3.7 =
7. x −140= 21 x =21+ 140 x =161 l) xx3⋅2=28 :23 +− x32= 2 83 x5 = 25 x = 2 − m) 3x 3−32=2.32 − 3x 3 −9 =2.9 − 3x 3 −9 =18 − 3x 3 =18+ 9 − 3x 3 = 27 − 3x 3= 33 x −33= x = 6 Bài 5. Tìm x ∈ sao cho a) x15;x 20 và 50 10 c) 9( x + 2) d) ( x+17)( x+ 3) Lời giải a) x15;x 20 và 50 10 Ta có 30= 2 .3.5 và 45 3.5 = 2 ÖCLN(30 ;45)3.515 = = Vì 30; 45 xxnên xÖC∈ (30;45) = Ö (15) = {1;3;5;15} Mà x >10 Do đó x =15 c) 9 ( x + 2 ) Ta có 93 = 2
8. Vì 9( x + 2) nên x+2∈Ö(9) ={1; 3; 9} Do đó x ∈{−1;1; 7} d) ( x+17)( x+ 3) Ta có ( x +17) 14 =1+ ( x+3) x+3 ⇒14( x +3 ) nên x+3∈Ö(14) ={1;2;7;14 } Do đó x ∈{−2;− 1; 4;11} Bài 6. Tìm x ∈ biết . a) 3−(17−x) = 289−(36 + 289) . b) 25+( x − 5) =−415−(15 − 415) . c) (−x) +(−62) +(− 46) =− 14 . d) 484+x =−632 +(− 548) . e) 17 −{−x+−x−(−x)} =−16 f) x−{−x+ ( x+3)} −( x+3) −( x−2) = 0 Lời giải a) 3−(17−x) = 289−(36 + 289) 3−(17−x) = 289− 36− 289 3−(17−x) =−36 17−x = 39 x =−22 . b) 25+( x − 5) =−415−(15 − 415) 25+( x −5 ) =−415− 15+ 415 25+x − 5=−15 20+x =−15 x =−35 . c) (−x) +(−62) +(− 46) =− 14 (−x) +(−108) =− 14 −x =−14−(− 108) −x =94 x =−94 . d) 484+x =−632 +(− 548) 484+x =−1180 x =−1180− 484 x =−1664 . e) 17 −{−x+−x−(−x)} =−16 17−(−x) =−16 17+x =−16 x =−33 .
9. f) x−{−x+ ( x+3)} −( x+3) −( x−2) = 0 x−{(−x) +x+3} −x+3+(−x) +2=0 x −350−= x = 8 . Bài 7. Người ta muốn chia 374 quyển vở, 68 cái thước và 340 nhãn vở thành một số phần thường như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng. Trong đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, thước và nhãn vở. Lời giải Số phần thưởng là ước chung lớn nhất của ba số 374 , 68, 340 . 2 2 Ta có 374= 2.11.17 ; 68= 2 .17 ; 340= 2 .5.17 . Do đó ƯCLN( 374;68;340 ) =2.17= 34 . Trong mỗi phần thưởng có nhiều nhất 374 :34= 11 quyển vở, 68:34= 2 cái thước, 340 :34= 10 nhãn vở. Bài 8. Bài toán Ủng hộ miền Trung năm 2020 : Một chuyến hàng ủng hộ miền Trung có 300 thùng mì tôm, 240 thùng nước ngọt và 420 lốc sữa. Các cô chú muốn chia thành các phần quà đều nhau về số lượng mì, nước và sữa. Con hãy giúp các cô chú chia sao cho số lượng các phần quà là nhiều nhất. Lời giải Số phần quà là ước chung lớn nhất của ba số 300;240;420 . Ta có 300= 22 .3.52; 240= 24 .3.5; 420= 22 .3.5.7 . 2 Do đó ƯCLN( 300;240;420 ) =2 .3.5= 60 . Trong mỗi phần quà có nhiều nhất 300 : 60= 5 thùng mì, 240 : 60= 4 thùng nước ngọt, 420 : 60= 7 lốc sữa. Bài 9. Bài toán Covid tại Sài Gòn: Để phòng chống dịch Covid - 19. TP Hồ Chí Minh đã thành lập các đội phản ứng nhanh bao gồm 16 bác sĩ hồi sức cấp cứu, 24 bác sĩ đa khoa và 40 điều dưỡng viên. Hỏi có thể thành lập nhiều nhất bao nhiêu đội phản ứng nhanh, trong đó các bác sĩ và điều dưỡng viên chia đều vào mỗi đội. Lời giải Gọi số đội phản ứng nhanh có thể thành lập được nhiều nhất là x ( x ∈) Vì 16 bác sĩ hồi sức cấp cứu, 24 bác sĩ đa khoa và 40 điều dưỡng viên được chia đều vào mỗi đội nên 16x ; 24x ; 40x và x lớn nhất ⇒x= UCLN (16,24,40) 4 3 3 Ta có 16= 2 ; 24= 2 .3 ; 40= 2 .5 ⇒x =8 Vậy có thể chia được nhiều nhất là 8 đội phản ứng nhanh. Bài 10. Số học sinh khối 6 của một trường khi xếp hàng 15,20,25 đều thiếu 1 người. Tính số học sinh khối 6 của trường đó biết rằng số học sinh đó chưa đến 400. Lời giải Gọi số học sinh khối 6 của trường là x ( x∈;x<400) Vì khi xếp hàng 15,20,25 đều thiếu 1 người nên x +1 15 ; x +1 20; x +1 25 ⇒x+1∈BC (15,20,25)
10. 2 2 Ta có 15= 3.5 ; 20= 2 .5 ; 25= 5 ⇒BCNN (15,20,25) = 22 .3.52= 300 BC (15,20,25) = { 0;300;600;900; } ⇒x +1∈{0;300;600;900; } ⇒x ∈{299;599;899; } Mà x<400⇒x=299 Vậy số học sinh khối 6 của trường là 299 học sinh. Bài 11. Một đơn vị bộ đội khí xếp hàng 10;12 hoặc 15 đều thừa ra 5 người, biết số người của đơn vị trong khoảng từ 320 đến 400 người. Tính số người của đơn vị đó. Lời giải Gọi số người của đơn vị bộ đội là x ( x∈;320<x< 400) Vì khi xếp hàng 15,12,10 đều thừa 5 người nên x − 5 15; x − 5 12 ; x − 5 10 ⇒x−5∈BC (10,12,15) 2 2 Ta có 15= 3.5 ; 10= 2.5; 12= 2 .3 ⇒BCNN (10,12,15) = 2 .3.5= 60 BC (10,12,15) = {0;60;120;180;240;300;360;420; } ⇒x −5∈{0;60;120;180;240;300;360;420; } ⇒x ∈{5;65;125;185;245;305;365;425; } Mà 320<x<400 ⇒x= 365 Vậy số người của đơn vị bộ đội là 365 người. Bài 12. Học sinh khối 6 của trường Thăng Long xếp hàng 20; 25;30 đều dư 13 học sinh nhưng xếp hàng 45 thì còn thừa 28 học sinh. Tính số học sinh khối 6 của trường Thăng Long. Biết rằng số học sinh chưa đến 1000 học sinh. Lời giải Gọi số học sinh khối 6 của trường Thăng Long là x ( x∈;x<1000) Vì khi xếp hàng 20; 25;30 đều dư 13 học sinh nên x −13 20 ; x −13 25 ; x −13 30 ⇒x−13∈BC ( 20,25,30) 2 2 Ta có 20= 2 .5 ; 25= 5 ; 30= 2.3.5 ⇒BCNN (20,25,30) = 22 .3.52= 300 BC (20,25,30) = {0;300;600;900; } ⇒x −13∈{ 0;300;600;900;1200; } ⇒x ∈{13;313;613;913;1213; } và x <1000 ⇒x ∈{13;313;613;913} Mà xếp hàng 45 thì còn thừa 28 học sinh nên x−28 45⇒x= 613 Vậy số HS của trường Thăng Long là 613 học sinh. Bài 13. Tìm số tự nhiên n có 3 chữ số, biết rằng số đó chia 20; 25; 30 đều dư 15 nhưng chia 41 thì không dư. Lời giải Vì n chia cho 20; 25; 30 đều dư 15 nên n −15 chia hết cho 20; 25; 30, do đó (n −15)∈BC ( 20,25,30) Ta có 20= 22 .5
11. 25= 52 30= 2.3.5 Khi đó BCNN( 20,25,30) = 22 .3.52= 300 Suy ra (n −15)∈ B( 300) ={0;300;600;900;1200; } , hay n ∈{15;315;615;915;1215; } Vì n có 3 chữ số và chia hết cho 41 nên n = 615 . Vậy số cần tìm là 615. Bài 14. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết khi chia cho 11; 17; 29 thì có số dư lần lượt là 6; 12; 24. Lời giải Theo bài ta có: n chia cho 11 dư 6 ⇒n +5 11 n chia cho 17 dư 12 ⇒n +5 17 n chia cho 29 dư 24 ⇒n +5 29 Suy ra (n +5)∈BC( 11,17,29) , mà n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn nên n +5=BCNN( 11,17,29) Mà BCNN( 11,17,29) = 11.17.29= 5423 nên n+5= 5423⇒n= 5418. Vậy số cần tìm là 5418. Bài 15. Cho các số 12, 18, 27. a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó. b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1. c) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 dư 10, chia cho 18 dư 16, chia cho 27 dư 25. Lời giải a) Gọi số cần tìm là n Vì n chia hết cho các số 12, 18, 27 nên n ∈ BC( 12,18,27) Ta có 12= 2 2 .3 18= 2.3 2 27= 3 3 Suy ra BCNN( 12,18,27) =2 2 .33= 108 Do đó n ∈B( 108) ={0;108;216;324;432; ;864;972;1080;. } Vì n là số lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn nên n = 972 . Vậy số cần tìm là 972. b) Gọi số cần tìm là n Vì n chia cho 12, 18, 27 đều dư 1 nên n −1 chia hết cho 12, 18, 27, hay (n −1)∈BC( 12,18,27) Ta có BCNN( 12,18,27) = 22 .33= 108 nên (n −1)∈B( 108) ={ 0;108;216; ;972;1080;1188; } Suy ra n ∈{1;109;217; ;973;1081;1189; }
12. Mà n là số có 4 chữ số nhỏ nhất thỏa mãn nên n = 1081. Vậy số cần tìm là 1081. c) Gọi số cần tìm là n Vì n chia cho 12 dư 10 ⇒n +2 12 n chia cho 18 dư 16 ⇒n +2 18 n chia cho 27 dư 25 ⇒n +2 27 Do đó (n +2)∈BC( 12,18,27) Ta có BCNN( 12,18,27) = 22 .33= 108 nên (n +2)∈B( 108) ={0;108;216; ;972;1080;1188; } Suy ra n ∈{106;214; ;970;1078;1186; } Mà n là số nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn nên n = 1078 . Vậy số cần tìm là 1078. Bài 16. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5, chia nó cho 19 thì dư 12. Lời giải Gọi số cần tìm là n Vì n chia cho 17 thì dư 5 nên n=17m+ 5 ⇒n+216= 17m+221  17 n chia cho 19 thì dư 12 nên n=19n+ 12 ⇒n+216= 19n+ 228 19 Suy ra (n +216)∈ BC( 17,19) Ta có BCNN( 17,19) =17.19 = 323 nên (n +216)∈ B( 323) ={ 0;323;646;969; } Suy ra n ∈{107;430;753; } Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn nên n = 107 . Vậy số cần tìm là 107. Bài 17. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2; 3; 5; 9 hay không? a) 102001 2 b) 102001 1 Lời giải 2001 a) Ta có: 10 2 1 00 0 2 1 00 0 2 . 2001cs / 0 2000cs / 0 Do đó 102001 2 có chữ số tận cùng là 2 và tổng các chữ số bằng 3. Suy ra: 102001 2 chia hết cho 2 và 3 nhưng không chia hết cho 5 và 9. 2001 b) Ta có: 10 1 1 00 0 1 99 99 . 2001cs / 0 2000cs / 9 2001 Do đó 10 1 có chữ số tận cùng là 9 và tổng các chữ số bằng 18000. Suy ra 102001 1 chia hết cho 3 và 9 nhưng không chia hết cho 2 và 5. 23 23 24 Bài 18. Cho A =44++4+ + 4+ 4 . Chứng minh: A20 ; A21; A420 . Lời giải Ta có: A 4 42 43 423 4 24
13. 4 42 43 44 4 23 4 24 4 42 442 42 4 22 4 42 20. 1 42 422  20 Do đó A20 . Lại có: A 4 42 43 423 4 24 4 42 43 44 45 46 422 423 424 414 42 4144 42 4 22 14 42 21. 4 4 4 422 21 Do đó A21. Vì 20,21 1 nên A420 . Bài 19. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n , các số sau đây là hai số nguyên tố cùng nhau: a) n 2 và n 3 b) 2n 3 và 3n 5 Lời giải a) Gọi n 2,n 3 d n 2 d n 3 d n 3 n 2 d Hay 1d . d 1. n 2,n 3 1. Vậy với mọi số tự nhiên n , n 2 và n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Gọi 2n 3, 3n 5 d 2n 3 d 32 n 3 d 6n 9 d . 3n 5 d 23 n 5 d 6n 10 d 6n 10 6n 9 d Hay 1d . d 1. 2n 3, 3n 5 1. Vậy với mọi số tự nhiên n , 2n 3 và 3n 5 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 20. Tìm số tự nhiên ab, biết ƯCLN ab; 4 và a b 48. Lời giải Vì ƯCLN ab; 4 nên : a 4m mn, *, mn , 1 . b 4n Lại có a b 48 nên: 4m 4n 48 m n 12 .
14. Ta có các cặp mn; thỏa mãn là: 1;11 , 5; 7 , 7; 5 , 11;1 . Khi đó, ab; thỏa mãn là 4;44 , 20;28 , 28;20 , 44;4 . Bài 21. Tìm chữ số tận cùng của các số a) 797 b) 141424 c) 4567 Lời giải a) 797 Ta có 24 9796 + 1 4 24 7=7=(7) .7=( 1 ) .7= 7 Vậy chữ số tận cùng của 797 là 7 b) 141424 712 712 Ta có 141424=(14 2 ) =( 196) = 6 Vậy chữ số tận cùng của 141424 là 6 c) 4567 Ta có 567 566+ 1 2 283 283 4=4= (4) .4 = (16) .4 = 6.4 = 4 Vậy chữ số tận cùng của 4567 là 4 Bài 22. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 4n−52 n− 1 b) n2 +3n+1n−1 Lời giải a) Ta có 4n−52n−1⇒22( n−1) −32n−1⇒2n−1∈Ö (3) Ö (3) ={−3;− 1;1; 3} Suy ra n∈{−1; 0;1; 2} Vi n là các số tự nhiên n nên n∈{0;1; 2} Vậy với n∈{0;1; 2} thì 4n−52 n− 1 22 b) n+3n+1n−1⇒n−n+4n−45+n− 1⇒nn(−1)+ 4(n− 1)+ 5n− 1 ⇒(n−1)(n+ 4)5+n− 1 ⇒5n −1⇒n−1∈U(5) ⇒n −1∈{−5;− 1;1; 5} ⇒n∈{−4;0; 2;6} Vì n là các số tự nhiên n nên n∈{0; 2;6} Vậy với n∈{0; 2;6} thì n2 +3n+1n−1 Bài 23. Tìm hai số nguyên tố pq, sao cho:
15. a) p +10 , p +14 là số nguyên tố. b) q + 2 , q +10 là số nguyên tố. Lời giải a) Với p = 2 thì p +10= 2+ 10= 12 2 và 12> 2 nên p + 2 không là số nguyên tố.  p +10= 15 Với p = 3 thì  là các số nguyên tố. Nên p = 3 thỏa mãn.  p +14= 17 Với p > 3 . Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p3. Khi đó ta có 2 trường hợp: TH1: p=3k+1. Khi đó ta có: p+14= 3k+1 + 14= 3k+ 15 3 không là số nguyên tố. TH2: p=3k+ 2. Khi đó ta có: p+10= 3k+ 2+ 10= 3k+ 12 3 không là số nguyên tố. Vậy p = 3 . Bài 24. Chứng minh rằng: Nếu (ab+ cd+ eg )11 thì abcdef 11. Lời giải Ta có: abcdef= ab.10000+ cd .100+ ef= 9999. ab+ 99. cd+( ab+ cd+ ef ) .  9999 11  Ta thấy: 99 11 nên 9999.ab+ 99. cd+( ab+ cd+ ef) ⇔ abcdef 11.  ++ (ab cd eg )11 Bài 25. Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số nguyên đó là một số dương. Lời giải Trong các số đã cho có ít nhất 1 số dương vì nếu trái lại tất cả các số đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ không thể là số dương. Tách riêng số dương đó ra, còn 30 số chia làm 6 nhóm. Mỗi nhóm có 5 số nên theo đề bài chúng có tổng là 1 số dương, do đó tổng của 31 số là số dương. 2 Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C=−( x−5) +10 Lời giải 2 2 Vì ( x −5) ≥0 với mọi xZ∈ nên −( x −5) ≤0 với mọi xZ∈ . Do đó: 2 C=−( x−5) +10≤ 0+ 10= 10 . 2 Vậy C đạt giá trị lớn nhất là 10 khi và chỉ khi ( x−5) =0⇔x−50=⇔x=5. Bài 27. Tìm số tự nhiên n sao cho 1!+ 2!+ 3!+ +n ! là một số chính phương. Lời giải 2 Xét n =1. Khi đó 1!= 1= 1 là số chính phương. + Xét n = 2 . Khi đó 1!+ 2!= 1+ 2= 3 không là số chính phương. + Xét n = 3. Khi đó 1!+ 2!+ 3!= 1+ 2+ 6= 9 là số chính phương. + Xét n = 4 . Khi đó 1!+ 2!+ 3!+ 4!= 1+ 2+ 6+ 24= 33 không là số chính phương. + Xét n > 4 . Khi đó n!= 1.2.3.4.5 n là một số có tận cùng bằng 0. Nên 1!+ 2!+ 3!+ +n != 33+ ( 0)= ( 3) . Vậy tổng này không thể là số chính phương. Vậy n =1hoặc n = 3thì 1!+ 2!+ 3!+ +n ! là số chính phương.
16. Bài 28. Tính chu vi và diện tích các hình sau: a) Hình chữ nhật có chiều dài 12cm và chiều rộng 8 cm . b) Hình vuông có cạnh 6cm. c) Hình thang cân có độ dài hai đáy là 4cm và 10cm , chiều cao 4cm , cạnh bên 5cm. d) Hình thoi có cạnh 5cm , độ dài hai đường chéo là 6cm và 8cm . e) Hình bình hành có độ dài hai cạnh là 10cm và 14cm , chiều cao 8cm. Lời giải a) Hình chữ nhật có chiều dài 12cm và chiều rộng 8 cm . Diện tích hình chữ nhật là: 12.8= 96(cm2 ). Chu vi hình chữ nhật là: 2.(12+ 8)= 40(cm). b) Hình vuông có cạnh 6cm. Diện tích hình vuông là: 62= 36(m2). Chu vi hình vuông là: 4.6= 24(m ). c) Hình thang cân có độ dài hai đáy là 4cm và 10cm , chiều cao 4cm , cạnh bên 5cm. 1 Diện tích hình thang cân là: (4+ 10).4= 28(cm2 ) 2 Vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nên hai cạnh bên của hình thang bằng nhau và bằng 5cm. Chu vi của hình thang cân là: 4+ 10+ 5+ 5= 24(cm ). d) Hình thoi có cạnh 5cm , độ dài hai đường chéo là 6cm và 8cm . 1 Diện tích hình thoi là: .6.8= 24 (cm2 ). 2 Chu vi hình thoi là: 4.5= 20(cm ). e) Hình bình hành có độ dài hai cạnh là 10cm và 14cm , chiều cao 8cm. Diện tích hình bình hành là: 14.8= 112(cm2 ). Chu vi hình bình hành là: 2(10+ 14)= 48(cm ). Bài 29. Một hình chữ nhật có chiều dài là 16m và chiều rộng là 10m . Một hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật. Tính diện tích hình vuông đó. Lời giải Chu vi hình chữ nhật là : 2.(16+ 10)= 52(m2 ) Gọi cạnh của hình vuông là am( ). Vì chu vi hình chữ nhật bằng chu vi hình vuông nên chu vi hình vuông là: 4a=52⇒a= 13(m ) Vậy diện tích hình vuông là : 132= 169(m2 ).
17. Bài 30. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 15m , chiều rộng 8m . Người ta trồng một vườn hoa 2 hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m . Tính độ dài đường chéo AC , biết BD=9. m Lời giải Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là : 15.8= 120(m2 ). Diện tích mảnh đất hình chữ nhật bằng diện tích vườn hoa hình thoi cộng với diện tích phần còn lại nên diện tích vườn hoa hình thoi là : 120− 75= 45(m2 ). 1 Mà diện tích vườn hoa hình thoi ABCD là: S= AC. BD 2 1 45= .AC.9 ⇒AC=10( m ). 2 Vậy AC=10 (m ). Bài 31. Hình chữ nhật ABCD có AB=15 cm , BC= 7 cm . Các điểm MN, trên cạnh AB, CD sao cho AM=CN = 4 cm . Nối DM , BN ta được hình bình hành MBND (như hình vẽ). Tính : a) Diện tích hình bình hành MBND . b) Tổng diện tích hai tam giác AMD và BCN . A M B D N C Lời giải a) Ta có: MB= AB− AM =15− 4= 11(cm) Hình bình hành MBND có cạnh là MB, chiều cao tương ứng là BC. 2 Diện tích hình bình hành MBND là: 11.7= 77(cm ) b) Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 15.7= 105(cm2 ) Tổng diện tích hai tam giác AMD và BCN là: 105− 77=28 (cm2 ) Bài 32. Ba hình vuông bằng nhau ghép thành hình chữ nhật ADEK như hình vẽ. Nối BK , DG ta được hình bình hành BDGK (như hình vẽ). Tính diện tích của hình bình hành đó biết chu vi hình chữ nhật ADEK là 40cm .
18. A B C D K H G E Lời giải Hình chữ nhật ADEK có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nửa chu vi hình chữ nhật ADEK là: 40 : 2= 20 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật ADEK là: 20 : 4= 5(cm) Chiều rộng của hình chữ nhật ADEK là độ dài cạnh của một hình vuông. Độ dài cạnh của hình bình hành BDGK là: 5.2= 10(cm) Diện tích hình bình hành BDGK là: 10.5= 50(cm2 ) Bài 33. Một nền nhà hình chữ nhật có chiều dài 16m , chiều rộng 6m . Người ta dự định lát nền bởi những viên gạch men hình vuông có cạnh 40cm . Hỏi người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch để lát? Lời giải Diện tích nền nhà là: 16.6= 96(m2 ) Diện tích một viên gạch là: 40.40= 1600(cm2 ) Đổi: 1600cm2= 0,16 m2 Số viên gạch cần dùng là: 96 : 0,16= 600 (viên)